柯西不等式成立条件

更新时间： 2025-09-26 16:33:55

1、二维形式

(a^2＋b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2，等号成立条件：ad=bc

2、三角形式

√(a^2＋b^2)＋√(c^2＋d^2)≥√[(a－c)^2＋(b－d)^2]，等号成立条件：ad=bc（注：“√”表示平方根）

3、向量形式

|α||β|≥|α·β|，α=(a1,a2,…,an)，β=(b1,b2,…,bn)（n∈N，n≥2），等号成立条件：β为零向量，或α=λβ（λ∈R）。

4、一般形式

(∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2，等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。

柯西不等式是由柯西在研究过程中发现的一个不等式，其在解决不等式证明的有关问题中有着十分广泛的应用，所以在高等数学提升中与研究中非常重要，是高等数学研究内容之一。

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