极值点偏移四种题型的解法

更新时间： 2025-08-06 18:38:05

1、极值点偏移。函数f（x）在x=x0处取得极值，且函数y=f（x）与直线y=b交于A（x1，b），B（x2，b）两点，则AB的中点为M（，b），那么极值点x0与x1，x2存在什么关系呢？有时候x0=，如开口向上的抛物线。而大多数情况下由于极值点两边增减的速度不一样，往往x0≠。

2、分不含参数的问题。函数f（x）=xe-x（x∈R），如果x1≠x2，且f（x1）=f（x2），证明：x1+x2>2。由f（x1）=f（x2），x1≠x2，不妨设x12，即证：x2>2-x1，因为x11，所以x2，2-x1∈（1，+∞）；又f（x）在（1，+∞）递减，故而只需证明f（x2）F（x），即f（x）-f（2-x）2。

3、含参数的问题。已知函数f（x）=x-aex有两个不同的零点x1，x2，求证：x1+x2>2。函数f（x）的两个零点等价于方程xe-x=a的两个实根，令g（x）=xe-x，依题意：g（x1）=g（x2）=a，从而这一问题与例1完全等价。按照例1的思路，可得x1+x2>2。

4、变量分离后再构造函数。函数f（x）=x-aex有两个不同的零点x1，x2，求证：x1+x2>2。解析：函数f（x）的两个零点等价于方程xe-x=a的两个实根，令g（x）=xe-x，依题意：g（x1）=g（x2）=a，从而这一问题与例1完全等价。可得x1+x2>2。

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