重要不等式什么时候等号成立

更新时间： 2025-09-19 13:06:33

重要不等式等号成立条件是一正二定三相等，是指在用不等式A+B≥2√AB证明或求解问题时规定的要求。

一正：A、B都必须是正数。

重要不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式。其可表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。

二定：在A+B为定值时，便可以知道A*B的最大值；在A*B为定值时，就可以知道A+B的最小值。

三相等：当且仅当A、B相等时，等号才成立；即在A＝B时，A+B＝2√AB。

算术证明：

如果a、b都为实数，（a-b）²≥0，所以a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立，证明如下：

∵(a-b)2≥0

∴a2+b2-2ab≥0

∴a2+b2≥2ab，即－2ab≥2ab，

整理可得≥4ab，

如果a、b都是正数，那么，当且仅当a=b时等号成立。（这个不等式也可理解为两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数，当且仅当a=b时等式成立)

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