压缩映射原理

更新时间： 2025-06-17 12:55:52

1、压缩映射法是不动点法中一种常用的方法。它的根据是压缩映射原理：设X是一个完备的距离空间，f是从X到X的一个压缩映射，那么f在X中必有且仅有一个不动点，而且从X的任何点x。出发作序列x1=f(x0)，x2=f(x1)，…，xn=f(xn-1)，…这序列一定收敛到f的那个不动点。称f是压缩映射，如果它把X中每两点的距离至少压缩k倍，这里k是一个小于1的常数，也就是说X中每两点x与y的像f(x)与f(y)的距离d(f(x)，f(y))不超过x与y的距离d(x，y)的k倍，即d(f(x)，f(y))≤kd(x，y)。

2、压缩映射原理是巴拿赫(S.Banach)在1922年给出的，这种思想可以追溯到皮卡用逐次逼近法求解常微分方程。该法能够提供许多种方程的解的存在性、唯一性及迭代解法，只要方程的解能转化为某个压缩映射的不动点。这一方法已经推广到非扩展映射、映射族、集值映射、概率度量空间等许多方面。